BAÁT ÑAÚNG THÖÙC

A. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC :

 

1.Tính chaát cô baûn: - Neáu a>b vaø c>0 thì ac>bc   - Neáu a>b vaø c<0 thì ac<bc  

- Neáu  thì  vaø

- Neáu a>b>0 thì  vaø (c>0)

- Neáu  thì  vaø (n leû)

 

2. Baát ñaúng thöùc veà giaù trò tuyeät ñoái:  vôùi moïi a thuoäc R

(vôùi a>0)

 hay (vôùi a>0)

 vôùi moïi a,b thuoäc R

Daáu baèng (1)  xaûy ra khi vaø ab

Daáu baèng (2)  xaûy ra khi

 

3. Baát ñaúng thöùc Coâ-si(Augustin-Louis- Cauchy, 1789-1857):

- Cho a,b0, ta coù:  (4)

 (5)  vaø (6)

Nx: Daáu baèng xaûy ra khi a=b vaø BÑT (3)  ñuùng khoâng caàn ñk a,b0

- Cho a,b,c0, ta coù:  (4)

 (5)  vaø (6)

Nx: Daáu baèng xaûy ra khi a=b=c

- Baát ñaúng thöùc Coâ-si vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp cho n soá khoâng aâm

Môû roäng: Cho a,b,c>0 ta coù:

 

4. Baát ñaúng thöùc Bu-nhi-a-coáp-xki (Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804-1889):

- Cho 4 soá thöïc a1, a2, b1, b2, ta coù:

(a1b1+a2b2)2 (a12+a22).( b12+b22) (7)

Daáu baèng xaûy ra khi:  

 

- Cho 6 soá thöïc a1, a2, a3, b1, b2, b3, ta coù: (a1b1+ a2b2 +a3b3)2 (a12+ a22 +a22).

(b12+ b22+b32) (8)

Nx: Daáu baèng xaûy ra khi:  vaø baát ñaúng thöùc Bu-nhi-a-coáp-xki  vaãn ñuùng trong tröôøng hôïp cho 2n soá (n thuoäc N*)

 

5. Moät soá phöông phaùp chöùng minh BÑT:

- Duøng ñònh nghóa: Töùc laø, ñeå chöùng minh A>B ta phaûi chöùng minh AB>0

- Duøng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông

- Duøng phöông phaùp chöùng minh phaûn chöùng

- Duøng tính chaát baéc caàu

- Duøng tính chaát cô baûn vaø caùc baát ñaúng thöùc ñaõ bieát nhö: Coâ-si, Bu-nhi-a-coáp-xki, …

- Duøng phöông phaùp tìm mieàn giaù trò

- Duøng phöông phaùp ñaïo haøm

- Duøng phöông phaùp löôïng giaùc

- Duøng phöông phaùp qui naïp

B. BAØI TAÄP VAÄN DUÏNG:     Caâu 1:

vôùi a, b>0 

 vôùi a,b,c vaø       vôùi a,b>0 vaø a+b=1 

    

vaø 8(pa)(pb)(pc)abc

 Caâu 2: Vôùi a,b,c>0. CMR:

vôùi ab1    

    

  

 vaø ø

Caâu 3: CMR:

         

    

    

cuûa bieåu thöùc

Caâu 5: CMR:

     vôùi

vaø

 a, b>c>0       

 

 

  . AÙp duïng haõy chöùng minh:  vôùi a, b, c>0                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Caâu 8:

 vôùi x, y, z>0 vaø x+y+z1

vôùi

. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

 Cho  vaø . CMR:  vaø

 (KA. 05)  Cho  vaø . CMR:

j)  Cho . CMR:

k) Cho. Tìm hai ñieåm M, N treân 2 nhaùnh cuûa sao cho ñoaïn MN ngaén nhaát

m) Cho 4 soá thöïc  thoûa  vaø . CMR:

BOÅ SUNG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC:

1) Cho:  vaø . CMR:

2) Cho:  vaø . CMR:

3) Cho:  vaø . CMR:  vaø

4) CMR: vôùi a,b,c>0. Ta coù:

                      vaø  

5) CMR: a)Vôùi  vaø . Ta coù:

b) Vôùi  vaø . Ta coù:

6) CMR: a)Vôùi . Ta coù:

b)Vôùi . Ta coù:

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TRONG ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI VAØ ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC

1) (99-00)  Cho 4 soá thöïc  thoûa:  vaø . CMR:

2) (99-00)  Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùùc:

3) (00-01)  CMR:  vôùi A,B,C laø ba goùc nhoïn cuûa tam giaùc

4) (00-01)  Tìm M treân ñoà thò:  vôùi  vaø caùch (D):moät ñoaïn ngaén nhaát

5) (00-01)  Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:

6) (01-02)  Cho. Tìm hai ñieåm M,N treân 2 nhaùnh cuûa sao cho ñoaïn MN ngaén nhaát

7) (01-02)  Cho  vaø. CMR:   

8) (99-00)  Cho  vaø. CMR:

9) (02-03)  Cho: . CMR:

10) (03-04)  Cho  vaø . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

11) (03-04)  Cho  vaø , vôùi laø caùc caïnh cuûa tam giaùc. CMR:

12) (02-03)  Cho  vaø . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

13) (KA.03)  Cho  vaø . CMR:

14) (KA.05)  Cho  vaø . CMR:

 

BOÅ SUNG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC:

1) Do a,b,c bình ñaúng neân ta chöùng minh:

2) Do a,b,c bình ñaúng neân ta chöùng minh:

3) Ta seõ chöùng minh:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

a) (Coâsi hay ñaïo haøm)

Caùch khaùc: Ta coù:

b)

4)  Ta duøng tính chaát:  vôùi a,b>0 ñeå chöùng minh:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

 … vaø  …

5) Ta seõ chöùng minh: 

(Coâsi hay ñaïo haøm). Töông töï cho caâu b)  

6) Ta coù:

a)     

b) . Töông töï cho hai bieåu thöùc:

MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TRONG ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI VAØ ÑEÀ THI ÑAÏI HOÏC

1) Ta coù:

2) Ta coù:

3) Chöùng minh ñöôïc:  vaø

 4) Goïi M() thuoäc ñoà thi haøm soá . Khoaûng caùch laø:

Sau ñoù, döïa vaøo ñieàu kieän:   ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc:

 5) Đặt:

 6) Gọi  (với ) là hai điểm thuộc hai nhánh của

Ta có:

Ñaët:  vaø duøng baát ñaúng thöùc Coâsi ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa

7) Ta chöùng minh: (Coâ si hay ñaïo haøm)

8) Ñaët: . BÑT thöùc töông ñöông:

(Theo BÑT  Schwartz:  vôùi  hay BÑT Coâsi)

Hay:

Maø . Töø ñoù, ta suy ra ñpcm                                                                                                                                                                                                                   

9)

Sau ñoù chöùng minh: . Töø ñoù, ta suy ra ñpcm.

10) Theo Bunhiacospki, ta coù:

11) Ta coù: , vì      

                 , vì

12) Ta coù:

13) Ñaët:    

Ta coù:  

Ñaët:   VT (ñpcm)

14) Ta coù: 

15) Ta coù giaû thieát: . Keát luaän: